Archive for 24 noviembre 2009

Canción sobre pi

24 noviembre, 2009

Con la música de la canción de Don McLean “American Pie” (no es solo una película) igual os suena a alguno:

Hay una canción sobre \pi:

Voy a tener que hacer una categoría de canciones friqui-matemáticas.

Pablo.

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Sucesiones.

23 noviembre, 2009

Os dejo un video sobre sucesiones. Está pensado en especial para los alumnos de 3º por ser el tema que estamos viendo pero podéis echarle un vistazo todos. No es muy largo pero es interesante.

Un saludo.

Pablo.

Números Complejos (o imaginarios)

19 noviembre, 2009

Los números complejos, se estudian en Bachillerato, pero como este año han aparecido un par de veces en las clases de la ESO, voy a comentar algunas cosas sobre ellos.

Empiezo por la pregunta, ¿por qué surgen los números?

Es fácil hallar respuestas en el caso de los números naturales: para contar. Si debemos dinero, si hace mucho frío, necesitamos contar de un modo nuevo, aparecen los números enteros. Después aparece el problema de compartir y hay que dividir parcelas, herencias, tartas, etc y necesitamos los números racionales.

¿Son suficientes esos números? Los pitagóricos se dieron cuenta de que si construyes un cuadrado de lado uno, su diagonal

                      d^2=1^2+1^2

es igual a \sqrt{2} y este número no es racional así que necesitamos incluir los irracionales para resolver ecuaciones como x^2-2=0.

El siguiente paso en la abstracción es preguntarse si todas las ecuaciones (polinómicas) tienen solución. Rápidamente nos encontramos con ejemplos como x^2+1=0 que no tiene solución (real) ya que resolviendo

                         x=\sqrt{-1}

y como todos sabéis las raíces de números negativos no tienen solución real.

¿Cuál es la solución? La misma que en los pasos anteriores, agrandar nuestro concepto de número. Para ello se definen los números imaginarios o complejos.

La idea del millón es definir como un nuevo número que se llama unidad imaginaria justamente la raíz de -1:

                          i=\sqrt{-1}

y esto nos permite construir unos nuevos números que son un híbrido con parte real y parte imaginaria

                          a+ib

donde a y b son números reales.

Ahora podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales. Además, existe un teorema que dice que habrá tantas soluciones (complejas) como grado tenga el polinomio. Este importante resultado se conoce como TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA y el primero que dio una demostración correcta (según tengo entendido, la Wikipedia dice otra cosa) fue Gauss.

Los números complejos se representan en el plano \mathbb{R}^2 donde el eje de abcisas es el eje real y el eje de ordenadas es el complejo.

La representación del número 2+3i por ejemplo coincide con la de (2,3) y así con todos.

Podemos sumar números complejos:

                       (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

y multiplicarlos (esta operación no es tan evidente a primera vista, pero si se multiplica término a término teniendo en cuenta que i^2=-1 se ve fácil.

                        (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

Una de las fórmulas más bonitas que existen relaciona los números más importantes que existen, 0,1,\pi, i, e:

                        e^{i\pi}+1=0

Para terminar, aunque los números complejos parezcan totalmente alejados de la realidad (nunca mejor dicho) se han encontrado aplicaciones en física cuántica para ellos.

Por último me gustaría que respondierais a la encuesta.

Gracias.

Pablo.

El Teorema de Fermat.

6 noviembre, 2009

Una de las historias más apasionantes de las matemáticas tiene que ver con este señor:

fermat1

Se llamaba Pierre de Fermat, vivió en el siglo XVII y era un aficionado a las matemáticas, quizá el único aficionado que haya conseguido hacerse un hueco en la historia de las matemáticas.

Fermat se dedicaba a poner a prueba a los matemáticos de la época mandándo teoremas de los que se guardaba la demostración.

En una ocasión, leyendo un libro de Diofanto escribió al margen:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él

El problema dice que si n\geq 3 la ecuación

                                x^n+y^n=z^n

no tiene soluciones enteras.

Fijaos que la condición n\geq 3 es muy importante porque la ecuación

                                     x^2+y^2=z^2

como todos sabéis tiene soluciones enteras, por ejemplo 3, 4 y 5 (estos números se llaman ternas pitagóricas).

Así que lo que Fermat quería decir es que la generalización de un Teorema de Pitágoras elevando los números a 3, 4, 5, etc. es imposible.

Como Fermat no dio la prueba, muchos matemáticos intentaron resolverlo. Hubo grandes matemáticos como Euler que obtuvieron resultados parciales, pero tuvieron que pasar más de tres siglos hasta que un matemático llamado Andrew Wiles lo resolviera en 1995 después de trabajar en él durante 7 años.

Demostrar este teorema ha sido uno de los grandes hitos en la matemática del siglo XX. En este documental podéis ver la emoción que siente Wiles al recordarlo:

Si os portáis bien os subo el resto del documental.

Pablo.

Informaciones útiles

2 noviembre, 2009

Hola a todos:

Subo algunos archivos que os pueden ser útiles.

Por si acaso todavía no queda claro, para resolver ejercicios en los exámenes tenéis que resolver los pasos que encontráis en Escribiendo matemáticas.

He escrito un breve resumen de técnicas para resolver problemas, hay problemas que hemos visto, alguno nueveo e ideas que pueden ser útiles: Resolución de Problemas

Por último, para la gente que está haciendo el trabajo sobre los números primos, hay un teorema importante sobre los números primos que dice que hay infinitos de estos números. He escrito una demostración aquí: Primos infinitos. Podéis utilizar ese material pero hay que completar una pregunta que dejo en el aire en la demostración (si no, no vale).

Espero que os sea útil.

Pablo.