Números Complejos (o imaginarios)


Los números complejos, se estudian en Bachillerato, pero como este año han aparecido un par de veces en las clases de la ESO, voy a comentar algunas cosas sobre ellos.

Empiezo por la pregunta, ¿por qué surgen los números?

Es fácil hallar respuestas en el caso de los números naturales: para contar. Si debemos dinero, si hace mucho frío, necesitamos contar de un modo nuevo, aparecen los números enteros. Después aparece el problema de compartir y hay que dividir parcelas, herencias, tartas, etc y necesitamos los números racionales.

¿Son suficientes esos números? Los pitagóricos se dieron cuenta de que si construyes un cuadrado de lado uno, su diagonal

                      d^2=1^2+1^2

es igual a \sqrt{2} y este número no es racional así que necesitamos incluir los irracionales para resolver ecuaciones como x^2-2=0.

El siguiente paso en la abstracción es preguntarse si todas las ecuaciones (polinómicas) tienen solución. Rápidamente nos encontramos con ejemplos como x^2+1=0 que no tiene solución (real) ya que resolviendo

                         x=\sqrt{-1}

y como todos sabéis las raíces de números negativos no tienen solución real.

¿Cuál es la solución? La misma que en los pasos anteriores, agrandar nuestro concepto de número. Para ello se definen los números imaginarios o complejos.

La idea del millón es definir como un nuevo número que se llama unidad imaginaria justamente la raíz de -1:

                          i=\sqrt{-1}

y esto nos permite construir unos nuevos números que son un híbrido con parte real y parte imaginaria

                          a+ib

donde a y b son números reales.

Ahora podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales. Además, existe un teorema que dice que habrá tantas soluciones (complejas) como grado tenga el polinomio. Este importante resultado se conoce como TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA y el primero que dio una demostración correcta (según tengo entendido, la Wikipedia dice otra cosa) fue Gauss.

Los números complejos se representan en el plano \mathbb{R}^2 donde el eje de abcisas es el eje real y el eje de ordenadas es el complejo.

La representación del número 2+3i por ejemplo coincide con la de (2,3) y así con todos.

Podemos sumar números complejos:

                       (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

y multiplicarlos (esta operación no es tan evidente a primera vista, pero si se multiplica término a término teniendo en cuenta que i^2=-1 se ve fácil.

                        (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

Una de las fórmulas más bonitas que existen relaciona los números más importantes que existen, 0,1,\pi, i, e:

                        e^{i\pi}+1=0

Para terminar, aunque los números complejos parezcan totalmente alejados de la realidad (nunca mejor dicho) se han encontrado aplicaciones en física cuántica para ellos.

Por último me gustaría que respondierais a la encuesta.

Gracias.

Pablo.

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