Desafíos matemáticos El País


Hoy ha aparecido el séptimo desafío matemático de El País. Lo presenta el profesor José Garay. A simple vista puede asustar un poco pero supongo (no lo he resuelto) que debe de haber un patrón escondido y se tratará de descubrirlo. Esto es una de las tareas de un matemático descubrir un cierto orden o regularidad donde no lo había. Con ello se consiguen resolver problemas y la búsqueda de patrones es sin lugar a dudas uno de los motores de las matemáticas.

Edito: La idea anterior vale para la segunda pregunta. Para la primera es útil hallar el término general de la sucesión de notas dando valores numéricos (Do es cero y así hasta el Sí que es un 6) y los términos múltiplos de 7 serán las notas Do.

Suerte.

Pablo.

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11 comentarios to “Desafíos matemáticos El País”

  1. César Says:

    Pues no es especialmente difícil. Animo a los interesados a intentarlo.

    Espero que nadie postee la solución por internet. Yo voy simplemente a dejar la solución encriptada:

    3971a50fc1860614b623f61844b0e756

    Por cierto, excelente la exposición del enunciado por parte del Profesor Garay.

    Un saludo.

  2. roman cajo castellano Says:

    esta es la primera vez que entro y no se donde stan los problemas
    podria decirmelo alguien porfavor¿?

  3. Pablo Linares Says:

    Román, ¿son los problemas de Khan, los del País, los que tienen premio? Supongo que ya los habrás visto, no tienes más que ir bajando en las entradas.
    P.

  4. Pablo Linares Says:

    Hola César:
    Gracias por comentar. Creo que es más difícil descifrar tu solución que encontrarla je je.
    En Gaussianos por lo menos no está la solución, me parece bien que ahora la gente no lo publique. Hemos estado viéndolo en algunas clases a ver si algún alumno lo consigue resolver. Mi solución seguro que no es la mejor pero creo que pueden llegar a ella desde 3º (con ayuda claro).
    Un saludo.
    Pablo.

  5. César Says:

    Ya está la solución publicada. La que yo había pensado era así:

    Partimos de la tecla DO y las siguientes posiciones son saltar los siguientes números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…, que da DO, RE, FA, SI, FA, RE, DO, etc.
    Ahora re-escribimos la sucesión 0,1,2…, cuyo término general es An = n, como An = Int ( n / 7) * 7 + n mod 7, y como cualquier tecla más 7 posiciones vuelve a tener el mismo nombre, tenemos que las diferentes posiciones nos las va dando n mod 7, que va del 0 al 6. Por lo tanto, vemos que la secuencia DO RE FA SI FA RE DO se repetirá indefinidamente. En concreto, en 7000 teclas, 1000 veces, y por tanto, hay 2.000 DOs y no aparecen el MI, SOL y el LA.

  6. Manolo Says:

    Partiendo de la fórmula S=n(n+1)/2 que nos permite calcular la suma de los términos de una progresión, se deduce que cada vez que ‘n’ ó (n+1) sean múltiplos de 7, sonará la nota ‘Do’.
    Suponiendo ‘n’=multiplo de siete, el resultado S/7 será exacto; o sea resto=0 y la tecla será ‘Do’.
    Ahora sólo nos queda aumentar ‘n’ en 1, 2, 3, 4, 5, y 6, desarrollar la fórmula y averiguar los restos resultantes. Estos serán 0, 1, 3, 6, 3, 1 y 0.
    O sea que faltan los 2, 4 y 5 de las teclas Mi, Sol, La…

  7. Pablo Linares Says:

    César, disculpa por no haber aprobado tu mensaje antes, de hecho todavía no he tenido tiempo de ver el video entero.

    No entiendo bien tu demostración, sobre todo lo del término general de la sucesión, también pienso que las posiciones no las da n mod 7 sino An mod 7 pero creo que se me escapa en lo que dices. Yo hice una prueba más al estilo de Manolo para mi a_n=1+2+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2} y calculando a_n (mod 7) sale el número de Do.

    Por cierto, una curiosidad; según uno de mis alumnos, no van a sonar 2000 Do porque llega un momento que no los oiremos😉

    Un saludo,

    P.

  8. Manolo Says:

    La frecuencia de un ‘Do’ es el doble del anterior, o la mitad del siguiente. Cada vez que subimos una octava la frecuencia se duplica.
    Así el primero ‘Do’ de un piano, creo que son 32’7 Hz. El siguiente son 65’4…

    Si la frecuencia límite del oído humano la fijamos en 20.000 (quien los pille…), sería fácil calcula qué ‘Do’ dejaríamos de oír…

  9. Pablo Linares Says:

    Sí, no sería difícil con los datos que das (que los desconocía) mi alumno me dio el dato en términos de octavas (no me acuerdo qué octava era).

    En cualquier caso, replantear el problema pidiendo cuántos Do escuchamos sería una vuelta de tuerca interesante.

    Estoy esperando el siguiente, a ver si sale pronto.

    P.

  10. Manolo Says:

    Puedes ver aquí la solución tal como la mandé a “El Pais”

    https://docs.google.com/leaf?id=0B0GvplYPsZBnZWQwMzRkOGQtOWRmMS00NzE2LTk4YTgtZWFmZWRiMDE2MjNl&hl=es

  11. Pablo Linares Says:

    Yo empecé la sucesión por cero como hace el prof Garay. Contaba los múltiplos de 7 y los múltiplos de 7 más 1, salen 1000 y 999 contando además el primer término que es un Do ya tienes los 2000.

    La verdad es que la segunda parte es bastante tediosa, yo probé que a_n=\frac{n(n-1)}{2} no puede ser nunca de resto al dividir entre 7 los restos que corresponden a Mi, Sol y Fa, lo probé con una de ellas porque es un poco repetitivo. Tu forma es más directa.

    P.

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