Cantor en el instituto. Un reto interesante.


En primero de ESO me gusta empezar con esta presentación (Números) que trata sobre un señor prehistórico que tenía cabras y su vecino le robaba.

El problema que propone es básicamente cómo contar sin números. Y tienen ideas, malas, regulares y muy buenas. Siempre acaban encontrando maneras de hacerlo.

La idea de contar relacionando los elementos de dos conjuntos es más profunda de lo que parece a simple vista porque cuando pasamos a conjuntos infinitos ocurren situaciones asombrosas.

Antes de entrar en materia, partimos de la idea de que dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos si podemos asociar los del primero a los del segundo sin que sobre ni falte ninguno. Esto lo contaba Adrián Paenza del siguiente modo: si estamos en un cine y todas las butacas están ocupadas, no hay dos personas en una butaca, no sobran butacas y no hay nadie de pie, podemos concluir que hay tantas personas como butacas (aunque no sepamos el número concreto de ninguno de los conjuntos).

Con los números sucede algo similar. Si los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, … son las butacas y los pares son las personas, podemos sentar a cada número par en una butaca y no sobran ni “butacas” ni “personas”. La relación es como se muestra en esta imagen

El número 2 lo sentamos en la primera butaca, el 4 en la segunda y así sucesivamente. Resulta que como todas las butacas están ocupadas (la butaca n la ocupa el número 2n) y no hay nadie de pie (el número par m está en la butaca m/2). Así que se deduce que ¡¡el conjunto de los números pares y el de los números naturales tiene la misma cantidad de elementos!!

Este proceso continúa. También se puede comprobar que el conjunto de los números enteros tiene el mismo número de elementos que el de los números naturales: la correspondencia iría: 1 al 0; el 2 al 1; el 3 al -1; el 4 al 2; el 5 al -2 y así sucesivamente.

También se puede hacer este proceso con los números naturales y los números racionales aunque la correspondencia es un poco más difícil. La idea es escribir en una cuadrícula los racionales. Algo similar a esto:

Después vamos enumerando siguiendo las diagonales (la manera la indican las flechas), si un número se repite nos lo saltamos. Sentamos en las primeras butacas a los siguientes números: 1, 2, 1/2, 1/3, (2/2 nos los saltamos), 3, 4, etc. Al final también los tendremos todos.

Estos resultados son ciertos aunque son poco intuitivos. ¿Cómo puede ser que haya la misma cantidad de enteros que de naturales si los segundos están contenidos en los primeros? El problema es que esa intuición funciona bien con los conjuntos finitos pero no funciona del mismo modo con los infinitos.

Aquí viene cuando un piensa, claro es tienen la misma cantidad de elementos porque son infinitos. Pero… ¡¡tampoco ese argumento funciona!! hay conjuntos infinitos con distinto número de elementos. Por ejemplo los números reales son más que los números naturales.

La idea para probarlo se le ocurrió al matemático alemán Georg Cantor

y su método se llama “proceso diagonal de Cantor”. Funciona de la siguiente manera. Suponemos que podemos poner en correspondencia los números naturales y os reales. Hacemos un ejemplo de lista pero hay que darse cuenta de que las ideas valen para cualquier lista que pudiera surgir:

En este caso hemos considerado que el 1 se corresponde con el primer número de la derecha y así sucesivamente. Cantor se dio cuenta de que esta lista (ni ninguna de este tipo) no podía contener a todos los números reales. La idea es genial de puro simple: el número 3,2519123… no puede estar en la lista.

El número lo he formado fijándome en los decimales en rojo y cambiando el número rojo por otro distinto. Si este proceso continúa indefinidamente ese numero no puede estar en ninguna posición al tener al menos una cifra decimal distinta de cada uno de los números de la lista.

Estas ideas son tremendamente profundas y difíciles de entender. Cantor se adelantó a su época y sus contemporáneos no supieron apreciar su trabajo.

Con esta entrada participo en la edición 3’141592 del Carnaval Matemático que tiene como anfitrión al blog ZTFnews.

Agradecimientos:

– A Joan Martinez Serra que me dejó utilizar un par de imágenes de su post sobre el mismo tema.

– Al propietario (desconocido) de la imagen de los números racionales. Se puede encontrar en esta página. Espero que no tenga problemas en que la haya reproducido aquí.

Una respuesta to “Cantor en el instituto. Un reto interesante.”

  1. Carnaval de Matemáticas: resumen de la edición 3,141592 « :: ZTFNews.org Says:

    […] el blog Matemáticas en el instituto, la entrada Cantor en el instituto. Un reto interesante describe el proceso diagonal de Cantor para comparar el cardinal de los números reales y los […]

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