Posts Tagged ‘4º ESO’

Pi

19 octubre, 2014

Este post se lo dedico a todos los alumnos que piensan que \pi es 3,14.

Pi es un número con infinitos decimales así que 3,14

¡¡¡ ES SOLO UNA APROXIMACIÓN!!!

En la página de la wikipedia de dicada a pi podéis encontrar mucha información.

Los primeros 50 decimales de pi son

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510…

En esta página podéis encontrar 16000.

También hay una página curiosa que encuentra números de hasta 10 cifras entre los primeros 200000000 este es el enlace. Por ejemplo, el día de hoy 07112011 aparece a partir de la posicíon 79,367,254. También aparece mi número de móvil por ejemplo. Si queréis saberlo, os doy una pista, está entre la posición 185 millones y la 200 millones.

Se conocen hasta la fecha 10 billones de decimales de pi.

Para recordar los primeros decimales de pi, se han escrito poesías o pequeños párrafos donde el número de letras de cada palabra representa un decimal:

“¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!”

o este otro:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Espero que os haya gustado.

Pablo.

NOTA: Este blog apareció hace muuuuucho tiempo en el blog, lo he traído a la primera página porque hoy hablé de él en clase.

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Cita y libro de Adrián Paenza

2 noviembre, 2011

Hoy he leido lo siguiente en el libro: Matemática ¿estás ahí? de Adrián Paenza.

En este mismo libro hay varios ejemplos que atentan contra la intuición. Y eso es maravilloso: la intuición se desarrolla, se mejora. Uno intuye distinto cuantos más datos tiene. Cuanto más acostumbrado está a pensar en cosas diferentes, mejor se prepara para tener ideas nuevas.

Me ha parecido interesante compartirlo con vosotros.

Por cierto, la historia de este libro es muy interesante. El autor accedió a publicarlo con la condición de que estuviera también disponible gratuitamente… y consiguió unas ventas espectaculares.

Si os interesa el libro (que es muy recomendable) podéis descargarlo aquí.

Un saludo.

Pablo.

Problema con premio.

15 febrero, 2011

Este problema es para los de 4º ambas opciones.

Un granjero tiene una huerta en forma de cuadrado, el lado del cuadrado es igual a 8 metros de lado. Ha dividido su interior en tres zonas, tal como se muestra en la siguiente figura:

Sabiendo que el punto E coincide con el punto medio del segmento AD y que CF es perpendicualr al segmento BE. ¿ Cuál es el área del cuadrilátero CDEF?

Pista: los dos triángulos son semejantes y recuerdo que si la razón de semejanza es k, la razón entre las áreas es k^2.

El problema vale 0.5 puntos.

Pablo.

Problema de medias.

1 marzo, 2010

En matemáticas, la media de dos números es un indicador de mucha utilidad, si a y b son dichos números, su media aritmética es \frac{a+b}{2}

Digo aritmética porque también existe la media geométrica que se define como \sqrt{ab}.

El problema es el siguiente: ¿cuál es mayor?

Obviamente, no vale solo la respuesta, hay que razonarlo también.

Por cierto, hay una relación entre ellas que pasa por los logaritmos, si tomamos la media aritmética de los logaritmos de  los números mirad qué sucede:

\frac{log a + log b}{2}=log a^{1/2} +log b^{1/2}=log \sqrt{ab}

Un saludo.

Pablo.

Arte, fotografía y matemáticas.

11 febrero, 2010

Os traigo hoy en la tercera entrega de la serie ARTE FRACTAL.

Ya hablé de los fractales aquí. Algunos ejemplos de fractales son:

– La alfombra de Sierpisnky (con algunas variantes)

– El copo de nieve de Koch:

– El conjunto de Mandelbrot:

En este enlace podéis encontrar un programa que genera algunos fractales.

Hay muchos cudros inspirados en estos objetos matemáticos, he subido algunos a Tuenti, otros ejemplos son:

Espero que os haya gustado.

Pablo.

Gráficas de funciones

8 febrero, 2010

El archivo adjunto que podéis encontrar haciendo click en el enlace: Graficas de funciones consiste en el trabajo obligatorio para los alumnos de 4º.

Tenéis que contestar a las preguntas de la última página ayudados por las gráficas de las funciones que aparecen. Espero que os ayude también con el tema que estamos viendo.

Un saludo.

Pablo.

Arte, fotografía y matemáticas.

27 enero, 2010

En este caso, la fotografía que os traigo es bastante artística aunque está más relacionada con las matemáticas y la naturaleza.

Se trata de la concha de un animal llamado Nautilus:

No quiero contar exactamente la relación con las matemáticas para que la gente que está haciendo trabajos voluntarios la encuentre, pero en esta concha ¡¡aparece la sucesión de Fibonacci y el número áureo!!

Pablo.

Arte, fotografía y matemáticas.

15 enero, 2010

Hola a todos:

He pensado empezar un apartado sobre el arte relacionado con las matemáticas.

En este primer post, aparece el cuadro Crucifixión que Salvador Dalí pintó en 1954.

En él aparece un hipercubo que sería el análogo de un cubo en cuatro dimensiones. Como no se puede dibujar la cuarta dimensión, Dalí dibujó el desarrollo tridimensional de un hipercubo. Este desarrollo es análogo al desarrollo en dos dimensiones de un cubo normal. En la imagen siguiente se muestran los desarrollos de un cubo y de un hipercubo.

Espero que os haya gustado. Si tenéis alguna fotografía relacionada con las matemáticas y queréis mandarla, la puedo publicar aquí.

Un saludo.

Pablo.

Números Complejos (o imaginarios)

19 noviembre, 2009

Los números complejos, se estudian en Bachillerato, pero como este año han aparecido un par de veces en las clases de la ESO, voy a comentar algunas cosas sobre ellos.

Empiezo por la pregunta, ¿por qué surgen los números?

Es fácil hallar respuestas en el caso de los números naturales: para contar. Si debemos dinero, si hace mucho frío, necesitamos contar de un modo nuevo, aparecen los números enteros. Después aparece el problema de compartir y hay que dividir parcelas, herencias, tartas, etc y necesitamos los números racionales.

¿Son suficientes esos números? Los pitagóricos se dieron cuenta de que si construyes un cuadrado de lado uno, su diagonal

                      d^2=1^2+1^2

es igual a \sqrt{2} y este número no es racional así que necesitamos incluir los irracionales para resolver ecuaciones como x^2-2=0.

El siguiente paso en la abstracción es preguntarse si todas las ecuaciones (polinómicas) tienen solución. Rápidamente nos encontramos con ejemplos como x^2+1=0 que no tiene solución (real) ya que resolviendo

                         x=\sqrt{-1}

y como todos sabéis las raíces de números negativos no tienen solución real.

¿Cuál es la solución? La misma que en los pasos anteriores, agrandar nuestro concepto de número. Para ello se definen los números imaginarios o complejos.

La idea del millón es definir como un nuevo número que se llama unidad imaginaria justamente la raíz de -1:

                          i=\sqrt{-1}

y esto nos permite construir unos nuevos números que son un híbrido con parte real y parte imaginaria

                          a+ib

donde a y b son números reales.

Ahora podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales. Además, existe un teorema que dice que habrá tantas soluciones (complejas) como grado tenga el polinomio. Este importante resultado se conoce como TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA y el primero que dio una demostración correcta (según tengo entendido, la Wikipedia dice otra cosa) fue Gauss.

Los números complejos se representan en el plano \mathbb{R}^2 donde el eje de abcisas es el eje real y el eje de ordenadas es el complejo.

La representación del número 2+3i por ejemplo coincide con la de (2,3) y así con todos.

Podemos sumar números complejos:

                       (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

y multiplicarlos (esta operación no es tan evidente a primera vista, pero si se multiplica término a término teniendo en cuenta que i^2=-1 se ve fácil.

                        (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

Una de las fórmulas más bonitas que existen relaciona los números más importantes que existen, 0,1,\pi, i, e:

                        e^{i\pi}+1=0

Para terminar, aunque los números complejos parezcan totalmente alejados de la realidad (nunca mejor dicho) se han encontrado aplicaciones en física cuántica para ellos.

Por último me gustaría que respondierais a la encuesta.

Gracias.

Pablo.

El Teorema de Fermat.

6 noviembre, 2009

Una de las historias más apasionantes de las matemáticas tiene que ver con este señor:

fermat1

Se llamaba Pierre de Fermat, vivió en el siglo XVII y era un aficionado a las matemáticas, quizá el único aficionado que haya conseguido hacerse un hueco en la historia de las matemáticas.

Fermat se dedicaba a poner a prueba a los matemáticos de la época mandándo teoremas de los que se guardaba la demostración.

En una ocasión, leyendo un libro de Diofanto escribió al margen:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él

El problema dice que si n\geq 3 la ecuación

                                x^n+y^n=z^n

no tiene soluciones enteras.

Fijaos que la condición n\geq 3 es muy importante porque la ecuación

                                     x^2+y^2=z^2

como todos sabéis tiene soluciones enteras, por ejemplo 3, 4 y 5 (estos números se llaman ternas pitagóricas).

Así que lo que Fermat quería decir es que la generalización de un Teorema de Pitágoras elevando los números a 3, 4, 5, etc. es imposible.

Como Fermat no dio la prueba, muchos matemáticos intentaron resolverlo. Hubo grandes matemáticos como Euler que obtuvieron resultados parciales, pero tuvieron que pasar más de tres siglos hasta que un matemático llamado Andrew Wiles lo resolviera en 1995 después de trabajar en él durante 7 años.

Demostrar este teorema ha sido uno de los grandes hitos en la matemática del siglo XX. En este documental podéis ver la emoción que siente Wiles al recordarlo:

Si os portáis bien os subo el resto del documental.

Pablo.

Informaciones útiles

2 noviembre, 2009

Hola a todos:

Subo algunos archivos que os pueden ser útiles.

Por si acaso todavía no queda claro, para resolver ejercicios en los exámenes tenéis que resolver los pasos que encontráis en Escribiendo matemáticas.

He escrito un breve resumen de técnicas para resolver problemas, hay problemas que hemos visto, alguno nueveo e ideas que pueden ser útiles: Resolución de Problemas

Por último, para la gente que está haciendo el trabajo sobre los números primos, hay un teorema importante sobre los números primos que dice que hay infinitos de estos números. He escrito una demostración aquí: Primos infinitos. Podéis utilizar ese material pero hay que completar una pregunta que dejo en el aire en la demostración (si no, no vale).

Espero que os sea útil.

Pablo.

Curiosidad matemática.

29 septiembre, 2009

He encontrado este vídeo que me ha parecido muy interesante. Echarle un vistazo y a ver si alguien sabe explicar el porqué.

No puedo meterlo en la entrada pero este es el enlace.

Por cierto, son casi 16 centímetros.

Un saludo.

Pablo.

Bienvenidos

17 septiembre, 2009

Hola a todos:

En este blog pretendo escribir cosas relacionadas con la asignatura. Podéis echar un vistazo a los post anteriores.

Escribiré problemas y otras cosas que os permitirán de forma voluntaria obtener puntos extra para los exámenes. También habrá algún problema obligatorio aunque no muchos.

Ya os iré explicando cómo funciona cada cosa. Para escribir las soluciones o  preguntar dudas podéis dejar un comentario (hay que hacer click en “Deja un comentario” debajo de la entrada).

Tenéis que fijaros en las etiquetas y categorías que hay debajo de la entrada porque algunos post serán para vuestro curso y otros no. NO hagáis cosas que no os correspondan.

Cuando respondáis, dejar vuestro nombre (y apellido si hay nombres repetidos) y curso. Y es IMPRESCINDIBLE escribir con corrección. Borro directamente las entradas que sean ilegibles.

Habrá trabajos que puntúen directamente para el examen y otros que no pero todos se tendrán en cuenta a la hora de calificar vuestro trabajo.

Si tenéis alguna duda, podéis preguntar en clase o dejando un comentario.

Un saludo.

Pablo.

La barrera del sonido.

22 febrero, 2009

He estado buscando fotos de aviones rompiendo la barrera del sonido como hablamos el otro día en clase. Os dejo una que me ha parecido interesante que he encontrado aquí:

990707-N-6483G-001

La explicación de este fenómeno según he encontrado en esta otra página web es:

Este halo blanco que se forma en torno al avión es aire comprimido. Cuando un avión se acerca a la velocidad del sonido, las ondas sonoras que genera, debido a que se desplazan casi a la misma velocidad que el aparato, no pueden adelantarlo con lo que se van acumulando delante del avión formando el muro de aire comprimido (el sonido no es otra cosa mas que una compresión del aire) que podemos observar en estas fotos y vídeos. Cuando el avión acelera por encima de la velocidad del sonido, adelanta a este muro (el sonido va ahora mas despacio que el avión, con lo que las ondas ya no pueden seguirlo) “rompiéndolo”; esta rotura provoca el llamado “estampido sónico”.

Y aquí tenéis un vídeo:

Espero que os guste.

Pablo.

La capa de Ozono

24 noviembre, 2008

Para los de 4º: Las preguntas eran las siguientes:

a) ¿Cómo se forma el ozono?

b) ¿En qué zona de la atmósfera se encuentra?

c) ¿Qué acciones beneficiosas tiene sobre los seres vivos?

d) Por qué está disminuyendo su espesor?

e) ¿Qué es realmente el agujero de la capa de ozono?

Recordad que la información se puede encontrar en: http://es.wikipedia.org/wiki/Capa_de_ozono

Un saludo.

P.