Posts Tagged ‘Matemáticas en general’

Pi

19 octubre, 2014

Este post se lo dedico a todos los alumnos que piensan que \pi es 3,14.

Pi es un número con infinitos decimales así que 3,14

¡¡¡ ES SOLO UNA APROXIMACIÓN!!!

En la página de la wikipedia de dicada a pi podéis encontrar mucha información.

Los primeros 50 decimales de pi son

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510…

En esta página podéis encontrar 16000.

También hay una página curiosa que encuentra números de hasta 10 cifras entre los primeros 200000000 este es el enlace. Por ejemplo, el día de hoy 07112011 aparece a partir de la posicíon 79,367,254. También aparece mi número de móvil por ejemplo. Si queréis saberlo, os doy una pista, está entre la posición 185 millones y la 200 millones.

Se conocen hasta la fecha 10 billones de decimales de pi.

Para recordar los primeros decimales de pi, se han escrito poesías o pequeños párrafos donde el número de letras de cada palabra representa un decimal:

“¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!”

o este otro:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Espero que os haya gustado.

Pablo.

NOTA: Este blog apareció hace muuuuucho tiempo en el blog, lo he traído a la primera página porque hoy hablé de él en clase.

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Cita y libro de Adrián Paenza

2 noviembre, 2011

Hoy he leido lo siguiente en el libro: Matemática ¿estás ahí? de Adrián Paenza.

En este mismo libro hay varios ejemplos que atentan contra la intuición. Y eso es maravilloso: la intuición se desarrolla, se mejora. Uno intuye distinto cuantos más datos tiene. Cuanto más acostumbrado está a pensar en cosas diferentes, mejor se prepara para tener ideas nuevas.

Me ha parecido interesante compartirlo con vosotros.

Por cierto, la historia de este libro es muy interesante. El autor accedió a publicarlo con la condición de que estuviera también disponible gratuitamente… y consiguió unas ventas espectaculares.

Si os interesa el libro (que es muy recomendable) podéis descargarlo aquí.

Un saludo.

Pablo.

Khan Academy

24 marzo, 2011

Hola a todos:

Como ya he comentado en clase pretendo usar este trimestre algunos de los ejercicios de Khan Academy para el trabajo de clase.

Ya os comenté que tenéis que acceder, bien con una cuenta de Google (la del correo de Gmail o la cuente de Youtube) o con una cuenta de Facebook. Si no tenéis os la podéis hacer que son gratuitas.

Me tenéis que agregar como profesor. Para eso se hace lo siguiente

1. Iniciar sesión
2. Ir al final de la página y hacer click en “Add a Coach”
3. Introducir: matesenelinstituto@gmail.com en la casilla de “Coach ID” y pulsar registrar

Los ejercicios que voy a pedir que hagáis (de momento): 3º: Geometry 1 4º Opción A: Functions 1. 4º Opción B: Shifting and reflecting functions. Son muy sencillos así que espero que no tengáis problemas.

Para dominar el ejercicio se requiere una racha de 10 aciertos. Si falláis o miráis pedis pista la racha vuelve a cero. Podéis ver un video explicativo sin perder la racha.

El cubo de Ruperto.

14 enero, 2011

Como hemos hablado en algunas clases, en matemáticas hay ciertas paradojas que son verdades que parece extraño que sea así.

La paradoja del cubo de Ruperto (no es el de Rubick) es un problema que consiste en hacer pasar un cubo por otro igual o un poco más pequeño. Aunque parezca imposible se puede hacer y en este video muy cortito aparece cómo

Si queréis más información y un cálculo más detallado del tamaño máximo del cubo que puede pasar por otro lo podéis encontrar en la entrada del blog Gaussianos que escribo al final (no puedo poner hipervínculos ahora mismo, ya editaré en un futuro a ver si puedo) que es dónde encontré el video y la idea para este post.

http://gaussianos.com/el-cubo-de-ruperto-o-cual-es-el-cubo-de-mayor-tamano-que-puede-atravesar-a-otro-cubo/

Pablo.

Wiki del departamento de matemáticas

12 enero, 2011

Desde el departamento de matemáticas se ha creado una wiki (este es el enlace). Para quien no lo sepa, una wiki es una página que se escribe en colaboración por varias personas.

Hay un apartado para los alumnos en el que podéis escribir vosotros cuestiones relacionadas con las matemáticas. El apartado está en el menú de la izquierda con el rótulo WikiAlumnos (pinchad aquí). Evidentemente se exige respeto y educación.

Una de las cosas en las que podéis participar para empezar es en sugerir ideas y logotipo de la futura revista de matemáticas del instituto.

Pablo.

Feliz 2011

11 enero, 2011

Ya estamos de vuelta aunque me haya costado 11 días escribir la primera entrada del año.

La próxima semana empezaremos con un nuevo matemático. Para esta, los que resolváis el problema que planteé antes de vacaciones tendréis 0,25 puntos extra. Intentadlo que merece la pena.

Aprovecho para contar un par de curiosidades de 2011. Este número es primo (quien quiera ver la lista de los 100000 primeros primos que pinche aquí). Y además es la suma (como se puede ver en este blog) de 11 números primos.

157+163+167+173+179+181+191+193+197+ 199 +211=2011

Pablo.

Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

26 noviembre, 2010

Os dejo los enlaces a la wikipedia donde se puede ver las soluciones generales de la ecuación de tercer grado y de cuarto grado.

Un saludo.

Pablo.

La banda de Möbius.

3 junio, 2010

Después de una larga ausencia, vuelvo otra vez al blog.

La banda de Möbius es una superficie llamada como el matemático alemán August Möbius.

La particularidad de la banda es que en contra de la intuición, solo tiene una cara. Si pensáis en una superficie como una hoja de papel (más o menos doblada) es evidente que tiene dos caras. Un cilindro hueco también las tiene, podéis estar o bien por dentro, o bien por fuera. Si empezáis en un lado y dáis la vuelta, seguiréis en ese mismo lado.

Con la banda de Möbius en cambio, al empezar en un lado y dar la vuelta volveréis al mismo sitio recorriéndola toda. Aquí tenéis una foto

Tiene interesantes propiedades y se puede construir muy fácilmente. Aquí os dejo un video explicativo.

Pablo.

Lagunas de primos.

5 mayo, 2010

Uno de los grandes misterios en matemáticas es la distribución de los números primos.

Se conocen bastantes resultados, por ejemplo que son infinitos, pero no se sabe con seguridad dónde encontrar el siguiente núemo primo.

El tema es más interesante de lo que parece a primera vista, porque la seguridad en internet depende de los números primos. No voy a hablar de este tema ya que habría que dedicarle una entrada completa. Lo dejaré para otra ocasión. Como anéctdota, el mayor número primo conocido es 

                                                  243112609-1

Para ver a este “pequeñin” pinchad aquí  que son bastantes dígitos aunque se han dejado casi 13 millones. De hecho, un archivo de texto con el número completo ocupa ¡¡¡16 megas!!!

Lo que quiero contar es cómo encontrar lagunas de primos. Las lagunas de primos se pueden definir como conjuntos de números consecutivos en los que ninguno es primo. Lo interesante del resultado es que se puede conseguir un conjunto de números consecutivos tan grande como se desee en el que no aparezcan primos.

Además la idea es brillante por su sencillez y elegancia.

Imaginad que queremos encontrar n números consecutivos que niguno sea primo. No tenemos más que considerar (n+1)! y la siguiente lista de números (n números en total) son todos compuestos:

                      (n+1)!+2;  (n+1)!+3;   (n+1)!+4; … (n+1)!+ n+1

La razón es muy sencilla y prefiero no decirla para que cada uno la piense. Como pista, solo hay que recordad la definición de número factorial. En cualquier caso, si no se entiende, dejad comentarios y la escribiré con más detalle.

Momentos matemáticos. Aviones.

27 abril, 2010

Las matemáticas están también presentes en la aviación. Echad un vistazo al siguiente pósster: Aviones

La solución de las ecuaciones de Navier-Stokes de la que habla es uno de los problemas matemáticos más famosos, hay un premio de 1 millón de dólares para el que lo resuelva.

Momentos matemáticos. Películas

15 abril, 2010

Hay una colección de pósteres sobre las aplicaciones de las matemáticas. Fue realizada por la Sociedad Matemática Americana y traducida por Real Sociedad Matemática Española.

Voy a empezar una serie nueva de entradas con enlaces a cada uno de estos pósteres. Son muy cortitos de leer, espero que os resulten interesantes.

El primero que he tomado prestado habla sobre la relación de las matemáticas y el cine.

Este es el enlace: Películas

Día de Pi. Enlaces.

14 marzo, 2010

Hoy es el día de \pi. Se toma este día porque es 14 del 3, que en el mundo anglosajón es 3-14.

Os traigo algunos enlaces a ciertos blogs que escriben sobre \pi.

En Gaussianos hay un post sobre diferentes formas de obtener \pi mediante una serie (es decir, una suma de inifinitos sumandos).

Tito Eliatron postea una canción aunque a mi no me gusta mucho, prefiero esta.

Y ya que estamos, enlazo un post que hice el año pasado.

Un saludo.

Pablo.

Libros maravillosos. Enlace.

5 marzo, 2010

Hoy os traigo el enlace a la página Libros Maravillosos. Es una página que recopila libros muy interesantes, no solo de matemáticas.

Hay libros de Perelman que merecen mucho la pena y ya son clásicos en la divulgación de las matemáticas y la física y también están los libros de Paenza.

Espero que os guste.

Pablo.

Amo las mates. Enlace.

23 febrero, 2010

Os traigo un enlace a una página que tiene mucho material tanto teórico como práctico. La página se llama “Amo las mates”

Merece la pena echar un vistazo a sus múltiples secciones. Tiene una lista de juegos lógicos interesantes.

Un saludo.

Pablo.

Semejanza en hojas de papel.

22 febrero, 2010

Como hemos estudiado en 4º, un folio es semejante a medio folio. Las dimensiones de las hojas de papel y su relación con otros tamaños se puede ver en la siguiente imagen.

La razón o cociente entre los lados en cualquiera de estos formatos es \sqrt{2}.

Podéis ver más informacción en la entrada de la wikipedia de la que proviene la imagen.

Pablo.

Los Simpsons y las matemáticas.

18 febrero, 2010

Hola a todos:

Escribo un post rápido sobre una serie que quizá alguno conozca: Los Simpsons (NOTA: espero que se entienda la ironía).

La cuestión es que hay muchos guiños en la serie a las matemáticas. En este dibujo se juega con que en inglés \pi y pastel (pie) se dicen del mismo modo.

En esta página podéis encontrar una relación de todas las veces que aparecen matemáticas en la serie.

En uno de los capítulos, en el que Homer entra en una tercera dimensión (creo que en Antena 3 lo han puesto 142 veces) aparece la ecuación  178212 + 184112 = 192212

Esta ecuación es falsa ya que contradice el teorema de Fermat que vimos en este post. Pero el caso es que si intentáis calcularlo lo más seguro es que el resultado sea igual. Eso se debe a que, aunque no es una igualdad, sí que los resultados están muy próximos como explican aquí ya que

178212 = 1025397835622633634807550462948226174976
184112 = 1515812422991955541481119495194202351681

178212 + 184112 = 2541210258614589176288669958142428526657
192212 = 2541210259314801410819278649643651567616

Y una calculadora, al aproximar puede dar resultados iguales.

Por cierto, hay una razón más sencilla, sin necesidad de calcular nada, que nos indica que la ecuación  178212 + 184112 = 192212 es falsa, ¿puedes encontrarla?

Pablo.

Problemas de olimpiadas matemáticas. Enlace.

12 febrero, 2010

Voy a ir enlazando páginas que me resulten interesantes.

Esta semana os traigo un blog sobre problemas de olimpiadas matemáticas. Tiene un blog asociado con las soluciones.

Problemas Matemáticos.

Pablo.

Gráficas de funciones

8 febrero, 2010

El archivo adjunto que podéis encontrar haciendo click en el enlace: Graficas de funciones consiste en el trabajo obligatorio para los alumnos de 4º.

Tenéis que contestar a las preguntas de la última página ayudados por las gráficas de las funciones que aparecen. Espero que os ayude también con el tema que estamos viendo.

Un saludo.

Pablo.

Números Complejos (o imaginarios)

19 noviembre, 2009

Los números complejos, se estudian en Bachillerato, pero como este año han aparecido un par de veces en las clases de la ESO, voy a comentar algunas cosas sobre ellos.

Empiezo por la pregunta, ¿por qué surgen los números?

Es fácil hallar respuestas en el caso de los números naturales: para contar. Si debemos dinero, si hace mucho frío, necesitamos contar de un modo nuevo, aparecen los números enteros. Después aparece el problema de compartir y hay que dividir parcelas, herencias, tartas, etc y necesitamos los números racionales.

¿Son suficientes esos números? Los pitagóricos se dieron cuenta de que si construyes un cuadrado de lado uno, su diagonal

                      d^2=1^2+1^2

es igual a \sqrt{2} y este número no es racional así que necesitamos incluir los irracionales para resolver ecuaciones como x^2-2=0.

El siguiente paso en la abstracción es preguntarse si todas las ecuaciones (polinómicas) tienen solución. Rápidamente nos encontramos con ejemplos como x^2+1=0 que no tiene solución (real) ya que resolviendo

                         x=\sqrt{-1}

y como todos sabéis las raíces de números negativos no tienen solución real.

¿Cuál es la solución? La misma que en los pasos anteriores, agrandar nuestro concepto de número. Para ello se definen los números imaginarios o complejos.

La idea del millón es definir como un nuevo número que se llama unidad imaginaria justamente la raíz de -1:

                          i=\sqrt{-1}

y esto nos permite construir unos nuevos números que son un híbrido con parte real y parte imaginaria

                          a+ib

donde a y b son números reales.

Ahora podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales. Además, existe un teorema que dice que habrá tantas soluciones (complejas) como grado tenga el polinomio. Este importante resultado se conoce como TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA y el primero que dio una demostración correcta (según tengo entendido, la Wikipedia dice otra cosa) fue Gauss.

Los números complejos se representan en el plano \mathbb{R}^2 donde el eje de abcisas es el eje real y el eje de ordenadas es el complejo.

La representación del número 2+3i por ejemplo coincide con la de (2,3) y así con todos.

Podemos sumar números complejos:

                       (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)

y multiplicarlos (esta operación no es tan evidente a primera vista, pero si se multiplica término a término teniendo en cuenta que i^2=-1 se ve fácil.

                        (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

Una de las fórmulas más bonitas que existen relaciona los números más importantes que existen, 0,1,\pi, i, e:

                        e^{i\pi}+1=0

Para terminar, aunque los números complejos parezcan totalmente alejados de la realidad (nunca mejor dicho) se han encontrado aplicaciones en física cuántica para ellos.

Por último me gustaría que respondierais a la encuesta.

Gracias.

Pablo.

El Teorema de Fermat.

6 noviembre, 2009

Una de las historias más apasionantes de las matemáticas tiene que ver con este señor:

fermat1

Se llamaba Pierre de Fermat, vivió en el siglo XVII y era un aficionado a las matemáticas, quizá el único aficionado que haya conseguido hacerse un hueco en la historia de las matemáticas.

Fermat se dedicaba a poner a prueba a los matemáticos de la época mandándo teoremas de los que se guardaba la demostración.

En una ocasión, leyendo un libro de Diofanto escribió al margen:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él

El problema dice que si n\geq 3 la ecuación

                                x^n+y^n=z^n

no tiene soluciones enteras.

Fijaos que la condición n\geq 3 es muy importante porque la ecuación

                                     x^2+y^2=z^2

como todos sabéis tiene soluciones enteras, por ejemplo 3, 4 y 5 (estos números se llaman ternas pitagóricas).

Así que lo que Fermat quería decir es que la generalización de un Teorema de Pitágoras elevando los números a 3, 4, 5, etc. es imposible.

Como Fermat no dio la prueba, muchos matemáticos intentaron resolverlo. Hubo grandes matemáticos como Euler que obtuvieron resultados parciales, pero tuvieron que pasar más de tres siglos hasta que un matemático llamado Andrew Wiles lo resolviera en 1995 después de trabajar en él durante 7 años.

Demostrar este teorema ha sido uno de los grandes hitos en la matemática del siglo XX. En este documental podéis ver la emoción que siente Wiles al recordarlo:

Si os portáis bien os subo el resto del documental.

Pablo.